| Název předmětu | Algebra 3 |
|---|---|
| Kód předmětu | KMT/AL3@ |
| Organizační forma výuky | Přednáška + Cvičení |
| Úroveň předmětu | Bakalářský |
| Rok studia | nespecifikován |
| Semestr | Zimní |
| Počet ECTS kreditů | 3 |
| Vyučovací jazyk | Čeština |
| Statut předmětu | Povinný |
| Způsob výuky | Kontaktní |
| Studijní praxe | Nejedná se o pracovní stáž |
| Doporučené volitelné součásti programu | Není |
| Vyučující |
|---|
|
| Obsah předmětu |
|
Sylabus předmětu Algebra 3 1. Polynomy jedné neurčité - Definice polynomu - Operace s polynomy - Dělení polynomů - Stupeň polynomu - Polynomy nad okruhy a tělesy 2. Dělitelnost polynomů - Dělitelnost v okruhu polynomů - Největší společný dělitel polynomů - Ireducibilní polynomy - Jednoznačný rozklad polynomů - Eisensteinovo kritérium 3. Kořeny polynomů - Kořeny a jejich násobnosti - Vztah mezi kořeny a koeficienty - Vietovy vzorce - Rozklad polynomu podle kořenů 4. Polynomy s celočíselnými koeficienty - Polynomy nad okruhem celých čísel - Dělitelnost polynomů s celočíselnými koeficienty - Ireducibilita polynomů - Eisensteinovo kritérium a jeho aplikace 5. Derivace polynomů - Formální derivace polynomu - Výpočet derivací polynomů - Násobné kořeny polynomů - Využití derivací při studiu polynomů 6. Polynomy více neurčitých - Polynomy více proměnných - Operace s polynomy více neurčitých - Stupeň polynomu - Symetrické polynomy - Základní vlastnosti symetrických polynomů 7. Algebraické rovnice - Binomické rovnice - Kvadratické rovnice nad komplexními čísly - Kubické rovnice nad komplexními čísly - Cardanova metoda - Reciproké rovnice - Numerické metody řešení algebraických rovnic Základní studijní literatura: Blažek, J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I. SPN, Praha, 1983. Blažek, J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika II. SPN, Praha, 1985.
|
| Studijní aktivity a metody výuky |
Přednášení, Monologická (výklad, přednáška, instruktáž)
|
| Výstupy z učení |
|
Cílem předmětu je, aby jeho absolvent/ka uměl/a: - Pracovat s polynomy jedné neurčité: Definovat polynomy, provádět operace s polynomy, využívat algoritmus dělení polynomů a analyzovat jejich základní vlastnosti. - Analyzovat dělitelnost polynomů: Určovat dělitelnost polynomů, nalézat jejich největší společné dělitele, pracovat s ireducibilními polynomy a využívat jednoznačný rozklad polynomů. - Pracovat s kořeny polynomů: Určovat kořeny a jejich násobnosti, využívat Vietovy vzorce a analyzovat vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomu. - Pracovat s polynomy s celočíselnými koeficienty: Analyzovat jejich vlastnosti, zkoumat ireducibilitu a aplikovat Eisensteinovo kritérium. - Používat derivace polynomů: Počítat derivace polynomů a využívat je při studiu násobných kořenů a dalších vlastností polynomů. - Pracovat s polynomy více neurčitých: Provádět základní operace s polynomy více proměnných a analyzovat vlastnosti symetrických polynomů. - Řešit algebraické rovnice: Používat algebraické i numerické metody řešení binomických, kvadratických, kubických a reciprokých rovnic. - Aplikovat metody polynomiální algebry při řešení matematických problémů a chápat jejich souvislosti s dalšími oblastmi algebry a matematické analýzy. Cílem kurzu je poskytnout studentům hluboké porozumění základním i pokročilým algebraickým konceptům a jejich aplikacím. Studenti se seznámí s různými aspekty polynomiální algebry a algebraických rovnic a rozvinou dovednosti potřebné pro efektivní výuku algebry na různých úrovních vzdělávání. Po absolvování kurzu budou studenti schopni: - Analyzovat a manipulovat s polynomy v jedné i více neurčitých: Studenti se naučí definovat a provádět základní operace s polynomy, určovat jejich stupně a koeficienty, a pochopí specifické vlastnosti polynomů s celočíselnými koeficienty. Budou schopni aplikovat derivace polynomů a rozpoznat a analyzovat symetrické polynomy a jejich použití. - Řešit problémy týkající se dělitelnosti a rozkladů polynomů: Studenti získají dovednosti v identifikaci dělitelnosti polynomů, rozkladu polynomů na ireducibilní faktory a aplikaci Eisensteinova kritéria pro ireducibilitu. - Pracovat s kořeny polynomů: Budou umět používat Vietaovy vzorce, analyzovat vztahy mezi kořeny a koeficienty, a efektivně nalézat a interpretovat nulové body polynomů. - Řešit algebraické rovnice různého stupně: Studenti zvládnou řešit binomické rovnice, kvadratické rovnice nad komplexními čísly, kubické rovnice, a rovnice s proměnnými v jmenovateli. Naučí se také používat numerické metody pro řešení rovnic, jako je metoda bisekce a Newtonova metoda. - Aplikovat teoretické poznatky v praxi: Budou schopni využívat algebraické metody a techniky k řešení praktických problémů a úloh, a efektivně je aplikovat ve výuce matematiky. Kurz poskytne studentům nejen teoretické základy, ale i praktické dovednosti potřebné pro výuku algebry a aplikaci algebraických metod v pedagogické praxi.
Kompetence v oblasti polynomiální algebry a algebraických rovnic; absolvent/ka předmětu bude umět samostatně řešit úlohy týkající se polynomů jedné i více neurčitých, jejich dělitelnosti, kořenů a ireducibility, analyzovat algebraické rovnice a aplikovat algebraické i numerické metody jejich řešení. Současně porozumí souvislostem mezi teorií polynomů, algebraickými strukturami a dalšími oblastmi matematiky. |
| Předpoklady |
|
Pro úspěšné absolvování kurzu jsou požadovány následující předpoklady: - Znalost středoškolské matematiky: Studenti by měli mít pevné základy v matematice na úrovni střední školy, včetně znalostí týkajících se polynomů, funkcí, rovnic a základních algebraických operací. - Znalosti z předmětů Algebra 1 a Algebra 2: Je nutné, aby studenti měli znalosti z předmětů Algebra 1 a Algebra 2. - Základní znalosti v matematické analýze: Užitečné budou i základní znalosti z matematické analýzy, zejména v oblasti derivací a základních funkcí. Tyto předpoklady zajistí, že studenti budou mít potřebný základ pro pochopení a aplikaci pokročilých algebraických konceptů probíraných v kurzu.
|
| Hodnoticí metody a kritéria |
|
Analýza výkonů studenta, Rozhovor, Seminární práce
Při ústní zkoušce musí studující prokázat aktivní znalost definic a vět obsažených v probíraných kapitolách základní studijní literatury: - Blažek, J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I. SPN, Praha, 1983. - Blažek, J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika II. SPN, Praha, 1985. Součástí zkoušky je rovněž vyřešení náhodně vybraného cvičení z těch, která jsou uvedena za jednotlivými probranými kapitolami základní studijní literatury. Ke zvládnutí zkoušky je proto nanejvýš žádoucí mít všechna tato cvičení předem vyřešena, ať již v rámci samostatného studia seminářů/cvičení. |
| Doporučená literatura |
|
| Studijní plány, ve kterých se předmět nachází |
| Fakulta | Studijní plán (Verze) | Kategorie studijního oboru/specializace | Doporučený semestr | |
|---|---|---|---|---|
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB23) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB19) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB26) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB25) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB23) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB20) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB21) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB25) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB22) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB20) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB19) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB22) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB26) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání maior (BB24) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB24) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |
| Fakulta: Pedagogická fakulta | Studijní plán (Verze): Matematika se zaměřením na vzdělávání minor (BB21) | Kategorie: Pedagogika, učitelství a sociální péče | 2 | Doporučený ročník:2, Doporučený semestr: Zimní |