|
Vyučující
|
-
Peška Patrik, RNDr. Ph.D.
-
Mikeš Josef, prof. RNDr. DrSc.
|
|
Obsah předmětu
|
1. Struktury na množinách. 2. Topologická struktura, otevřené množiny, vnitřek, vnějšek, uzávěr, uzavřené množiny, báze, subbáze, Hausdorffův prostor, prostory prvního a druhého typu spočetnosti, spojitá zobrazení, příklady topologických struktur, podprostory. 3. Struktury na Euklidově prostoru, topologie Euklidova prostoru, příklady otevřených množin, epsilon-delta definice spojitosti funkcí, příklady spojitých a nespojitých zobrazení. 4. Srovnání topologií, finální a iniciální topologie, součin dvou topologických prostorů, faktorová topologie, příklady: faktorizace čtverce. 5. Metrická topologie, otevřené koule, vlastnosti metrické topologie, ohraničené množiny. 6. Kompaktní topologické prostory, spojitá zobrazení kompaktních prostorů, extrémy spojitých funkcí, příklady: kriterium kompaktnosti v Euklidových prostorech, sféry. 7. Souvislé prostory, příklady souvislých a nesouvislých prostorů. 8. Aplikace: Topologické grupy, topologické vektorové prostory, variety.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
|
Přednášení, Metody práce s textem (učebnicí, knihou), Aktivizující (simulace, hry, dramatizace)
|
|
Výstupy z učení
|
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami Topologie, zejména s vlastnostmi topologických a metrických prostorů a jejich významem v matematické analýze a geometrii. Studenti: - porozumí pojmu topologického prostoru a topologických struktur, - osvojí si práci s otevřenými a uzavřenými množinami, uzávěrem a vnitřkem, - pochopí spojitost zobrazení v topologickém i metrickém smyslu, - seznámí se s různými konstrukcemi topologií (součin, faktor, iniciální a finální topologie), - pochopí pojem kompaktnosti a souvislosti a jejich důsledky, - osvojí si metrickou topologii a její vlastnosti, - získají přehled o aplikacích v topologických grupách, vektorových prostorech a varietách.
Student po absolvování předmětu: Znalosti: - rozumí základním pojmům Topologie a metrické topologie, - zná vlastnosti otevřených a uzavřených množin, kompaktnosti a souvislosti, - chápe různé konstrukce topologických prostorů (součin, faktor, podprostory), - rozumí významu topologie v dalších oblastech matematiky. Dovednosti: - umí pracovat s topologickými strukturami a porovnávat topologie, - dokáže určovat uzávěr, vnitřek a hranici množin, - ověřuje spojitost zobrazení v různých kontextech, - aplikuje kritéria kompaktnosti a souvislosti, - pracuje s metrickými prostory a jejich vlastnostmi. Kompetence: - je schopen abstraktního matematického myšlení, - dokáže převádět intuitivní geometrické pojmy do formálního jazyka, - rozumí významu topologických metod v analýze a geometrii, - je připraven na další studium pokročilých oblastí matematiky (např. diferenciální geometrie).
|
|
Předpoklady
|
Předpokládá se znalost základů Matematická analýza (zejména posloupností, limit a spojitosti) a Lineární algebra. Základní orientace v Analytická geometrie je výhodou.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Známkou, Ústní zkouška, Analýza výkonů studenta
Pro úspěšné absolvování předmětu musí student: - aktivně se účastnit výuky (přednášky/cvičení), - průběžně plnit zadané úkoly, - prokázat porozumění probírané látce, - být schopen řešit praktické i teoretické úlohy, - úspěšně složit závěrečnou zkoušku (případně zápočet).
|
|
Doporučená literatura
|
-
Engelking R. (1977). General Topology. Warszawa.
-
J. Mikeš, E. Stepanova, A. Vanžurová et al. (2015). Differential geometry of special mappings. Olomouc.
-
Kelley J. L. (2017). General Topology. Dover Books on Mathematics.
-
Kolomogorov, Fomin. (1975). Úvod do teorie funkcí a funkcionální analýzy. Praha.
-
Krupka D., Krupková O. (1990). Topologie a geometrie. Praha.
-
Matoušek, M. (2005). Úvod do topologie. Praha.
-
Pultr, A. (1982). Úvod do topologie a geometire I.. Praha.
-
Štěrbová, M. (1989). Úvod do obecné topologie. Olomouc.
-
Weintraub S. H. (2014). Fundamentals of Algebraic Topology.
|