|
Vyučující
|
-
Andres Jan, prof. RNDr. dr hab. DSc.
-
Rachůnková Irena, prof. RNDr. DrSc.
|
|
Obsah předmětu
|
1.Stabilita hyperbolických a nehyperbolických kritických bodů. (Kriteria stability, asymptotické stability a nestability založené na linearizaci. Exponenciální stabilita.) 2.Ljapunovská stabilita kritických bodů. (Ljapunovova a Četajevova věta, geometrický význam Ljapunovových funkcí.) 3.Vyšetřování stability kritických bodů zadaných modelů. 4.Stabilní a nestabilní variety. (Existence stabilních a nestabilních variet a jejich určování pomocí mocninných řad.) 5.Lokální fázové portréty v okolí nehyperbolických kritických bodů. ( V případě existence jednoho nulového a jednoho nenulového vlastního čísla, v případě existence ryze imaginárních vlastních čísel.) 6.Centrální variety. (Existence centrálních variet a jejich určování pomocí mocninných řad. Určování toku na centrální varietě.) 7.Lokální bifurkace planárních dynamických systémů. (Existence bifurkace, bifurkační funkce, bifurkační rovnice, skalární rovnice na centrálních varietách, bifurkace sedlo-uzel.) 8.Určování lokálních fázových portrétů zadaných modelů. 9.Globální bifurkace. (Příklady globálních bifurkací zlomení sedlové vazby, zlomení homoklinické smyčky). 10.Periodické orbity. (Existence periodických orbit, Poincaré-Bendixsonova věta, pozitivně invariantní množiny, Bendixsonovo a Dulacovo kriterium neexistence periodických orbit). 11.Stabilita periodických orbit. (Poincarého zobrazení, orbitální stabilita, nestabilita a asymptotická stabilita, model Van der Polova oscilátoru.) 12.Vyšetřování stability periodických orbit zadaných modelů. 13.Hopfova bifurkace. (Poincaré-Andronov-Hopfova věta, bifurkační diagramy).
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Přednášení, Dialogická (diskuze, rozhovor, brainstorming), Metody práce s textem (učebnicí, knihou)
- Účast na výuce
- 39 hodin za semestr
- Příprava na zápočet
- 20 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku
- 60 hodin za semestr
|
|
Výstupy z učení
|
Pochopit hlavní principy teorie dynamických systémů, konstrukci dynamických modelů a jejich vyšetřování.
Aplikace Aplikovat teorii dynamických systémů na studium různých modelů v matematice, fyzice, ekonomii a biologii.
|
|
Předpoklady
|
Znalosti skalárních dynamických systémů a planárních lineárních dynamických systémů.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Ústní zkouška, Analýza výkonů studenta
Zápočet: aktivní účast na cvičení. Zkouška: prokázat porozumění a znalost předmětu a schopnost aplikovat látku na standardních modelech.
|
|
Doporučená literatura
|
-
J. B. Hubard, B. M. West. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Springer.
-
J. Guckenheimer, P. Holmes. (1993). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer.
-
J. Hale, M. Kocak. (1996). Dynamics and Bifurcations. 2. edition. Springer-Verlag.
-
Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney. (2013). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, Oxford.
-
Steven H. Strogatz. (2014). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Boca Raton.
-
Teschl, Gerald. (2012). Ordinary differential equations and dynamical systems. American Mathematical Society.
|