|
Vyučující
|
-
Halaš Radomír, prof. Mgr. Dr.
-
Chajda Ivan, prof. RNDr. DrSc.
-
Kühr Jan, prof. RNDr. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
Cílem předmětu je prohloubit a ukotvit znalosti z elementární teorie čísel, zasadit je do širšího kontextu, a dále seznámit studenty s pokročilejšími partiemi klasické teorie čísel. Rozšiřující látka byla vybrána s ohledem na možné využití znalostí při řešení obtížnějších školních úloh. 1.Okruhy zbytkových tříd a jejich invertibilní prvky. Kongruence v Z, základní vlastnosti. 2.Prvočísla a jejich vlastnosti: Odhady n-tého prvočísla, funkce pí, její odhady. Hustota prvočísel v množině přirozených čísel. Zákon asymptotického rozložení prvočísel. 3.Kongruenční rovnice: Lineární kongruenční rovnice. Řetězové zlomky racionálních čísel. Soustavy lineárních rovnic, lineární diofantické rovnice. 4.Kongruenční rovnice 2. stupně, Legendrův symbol a jeho výpočet. Gaussovo lemma a zákon vzájemnosti pro lichá prvočísla. 5.Kongruenční rovnice v mocnině lichého prvočíselného modulu. Kongruenční rovnice obecného typu. 6.Multiplikativní grupy okruhů zbytkových tříd, primitivní kořeny. 7.Indexy prvků a jejich vlastnosti. Řešení exponenciálních a binomických kongruenčních rovnic. 8.Řetězové zlomky iracionálních čísel, jejich aproximace pomocí parciálních zlomků. 9. Hurwitz-Borelova věta. Řetězové zlomky kvadratických iracionalit, Pellovy rovnice. 10.Algebraická a transcendentní čísla. Liouvillova věta a konstrukce transcendentních čísel. 11.Rozklad čísel na součet kvadrátů. Lagrangeova věta o součtu čtyř kvadrátů. 12.Schnirelmannova metoda sčítání posloupností, Goldbachova hypotéza, Waringův problém. 13.Minimální polynom algebraického čísla a jeho konstrukce. 14.Kvadratická tělesa a celá algebraická čísla. Celá algebraická čísla v kvadratických tělesech. 1. Konstrukce pravítkem a kružítkem, neřešitelnost antických úloh. 2. Normální a řešitelné řady grup. 3. Číselná tělesa, jednoduché a konečné algebraické rozšíření. Algebraicky uzavřená tělesa. 4. Galoisova grupa algebraického rozšíření. Cyklická a radikálová rozšíření. 5. Řešitelnost algebraických rovnic v radikálech. 6. Komplexní a hyperkomplexní čísla, kvaterniony, oktety.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
|
Přednášení, Dialogická (diskuze, rozhovor, brainstorming)
|
|
Výstupy z učení
|
Porozumět základům klasické teorie čísel a jejich aplikací ve školské matematice.
Získání přehledu o základních problémech studovaných v teorii čísel.
|
|
Předpoklady
|
nespecifikováno
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Ústní zkouška, Písemná zkouška
Aktivní účast na cvičeních, úspěšné absolvování písemné zkoušky.
|
|
Doporučená literatura
|
-
B.L. van der Vaerden. (1991). Algebra I. Springer Verlag, 7-th ed.
-
B.L. van der Vaerden. (1991). Algebra II. Springer Verlag, 7-th ed.
-
Halaš, R. (1997). Teorie čísel. VUP Olomouc.
-
Halaš, R. (2014). Úvod do teorie čísel. UP v Olomouci.
-
Chajda I. (2000). Vybrané kapitoly z algebry. PřF UP Olomouc.
-
Ireland M. (1987). Klasický úvod do moderní teorie čísel. Mir Moskva.
-
Nathanson, M. B. (2000). Elementary methods in number theory. Springer.
|